곡선과 직선 교점 확률

[출제의도] 이해능력-확률 서로 다른 두 주사위를 던져 나올 수 있는 순서쌍 $( a , b )$의 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$ 곡선 $y = x ^{2} + ax + b$와 직선 $y = x - 1$이 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식 $x ^{2} + ax + b = x - 1$ $x ^{2} + ( a - 1 ) x + b + 1 = 0 \cdots \text{㉠}$ 에서 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 따라서 ㉠의 판별식을 $D$라 하면 $D = ( a - 1 ) ^{2} - 4 ( b + 1 ) > 0$ 즉, $( a - 1 ) ^{2} > 4 ( b + 1 ) \cdots \text{㉡}$ $4 ( b + 1 ) \geq 8$이므로 $a \geq 4$이어야 한다. (ⅰ) $a = 4$일 때, ㉡에서 $4 ( b + 1 ) < 9$ $\displaystyle b + 1 < \frac{9}{4}$이어야 하므로 $b = 1$ (ⅱ) $a = 5$일 때, ㉡에서 $4 ( b + 1 ) < 16$ $b + 1 < 4$이어야 하므로 $b = 1 , 2$ (ⅲ) $a = 6$일 때, ㉡에서 $4 ( b + 1 ) < 25$ $\displaystyle b + 1 < \frac{25}{4}$이어야 하므로 $b = 1 , 2 , 3 , 4 , 5$ 위의 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 $a , b$의 모든 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $1 + 2 + 5 = 8$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$