미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선과 직선 극한

문제

실수 t(t>0)t \left( t > 0 \right)에 대하여 곡선 y=x2−3xy = x ^{2} - 3 x와 직선 y=txy = tx가 만나는 점 중 원점 O{\mathrm{O}}가 아닌 점을 P{\mathrm{P}}라 하고, 점 P{\mathrm{P}}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하자. lim⁡t→0+OP‾−OH‾t2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{{\overline{\mathrm{OP}}} - {\overline{\mathrm{OH}}}}{t ^{2}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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③

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해설

x2−3x=txx ^{2} - 3 x = tx에서 x(x−t−3)=0x \left( x - t - 3 \right) = 0 x=0x = 0 또는 x=t+3x = t + 3 점 P{\mathrm{P}}는 원점 O{\mathrm{O}}가 아니므로 점 P{\mathrm{P}}의 좌표는 (t+3,t2+3t)\left( t + 3 , t ^{2} + 3 t \right) OP‾=(t+3)2+t2(t+3)2=(t+3)t2+1\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = \sqrt{\left( t + 3 \right) ^{2} + t ^{2} \left( t + 3 \right) ^{2}} = \left( t + 3 \right) \sqrt{t ^{2} + 1} OH‾=t+3\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = t + 3 따라서 lim⁡t→0+OP‾−OH‾t2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{{\overline{\mathrm{OP}}} - {\overline{\mathrm{OH}}}}{t ^{2}} =lim⁡t→0+(t+3)t2+1−(t+3)t2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{\left( t + 3 \right) \sqrt{t ^{2} + 1} - \left( t + 3 \right)}{t ^{2}} =lim⁡t→0+(t+3)(t2+1−1)(t2+1+1)t2(t2+1+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{\left( t + 3 \right) \left( \sqrt{t ^{2} + 1} - 1 \right) \left( \sqrt{t ^{2} + 1} + 1 \right)}{t ^{2} \left( \sqrt{t ^{2} + 1} + 1 \right)} =lim⁡t→0+(t+3){(t2+1)−1}t2(t2+1+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{\left( t + 3 \right) \left\{ \left( t ^{2} + 1 \right) - 1 \right\}}{t ^{2} \left( \sqrt{t ^{2} + 1} + 1 \right)} =lim⁡t→0+t+3t2+1+1=32\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{t + 3}{\sqrt{t ^{2} + 1} + 1} = \frac{3}{2}

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