공통수학2유리함수와 무리함수AI기본 문제 (3점 중반)

곡선 위의 점으로 만든 직사각형 넓이의 최댓값

문제

그림과 같이 x>0x > 0에서 정의된 함수 y=9x\displaystyle y = \frac{9}{x}의 그래프 위의 점 P\mathrm{P}와 점 A(1,1)\mathrm{A} ( 1 , 1 )이 있다. 두 점 A\mathrm{A}, P\mathrm{P}를 마주 보는 두 꼭짓점으로 하고 각 변이 xx축 또는 yy축에 평행한 직사각형의 넓이의 최댓값은? (단, 점 P\mathrm{P}의 xx좌표는 11보다 크고 99보다 작다.) [3점] ①22②33③44④55⑤66

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③

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해설

점 P\mathrm{P}의 좌표를 (a,9a)\displaystyle \left( a , \frac{9}{a} \right) (1<a<91 < a < 9)라 하면 직사각형의 가로의 길이는 a−1a - 1, 세로의 길이는 9a−1\displaystyle \frac{9}{a} - 1이므로 넓이 SS는 S=(a−1)(9a−1)=10−(a+9a)\displaystyle S = ( a - 1 ) \left( \frac{9}{a} - 1 \right) = 10 - \left( a + \frac{9}{a} \right) a>0a > 0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a+9a≥2a×9a=6\displaystyle a + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{a \times \frac{9}{a}} = 6 (단, 등호는 a=9a\displaystyle a = \frac{9}{a}, 즉 a=3a = 3일 때 성립한다.) S≤10−6=4S \leq 10 - 6 = 4 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 44이므로 답은 ③이다.

태그

#산술평균과 기하평균#유리함수의 그래프#직사각형의 넓이

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