미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선 길이 최소

문제

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 f(0)=0,f(1)=3\displaystyle f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = \sqrt{3} 을 만족시키는 모든 함수 f(x)f ( x )에 대하여 ∫011+{f′(x)}2dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {} \sqrt{1 + \left\{ f' ( x ) \right\} ^{2}} d x 의 최소값은? [3점] ①2\displaystyle \sqrt{2}②22③1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}④5\displaystyle \sqrt{5}⑤1+3\displaystyle 1 + \sqrt{3}

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②

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해설

∫011+f′(x)2dx\displaystyle \int _{0} ^{1} \sqrt{1 + {f' ( x )} ^{2}} dx는 y=f(x)y = f ( x )의 0≤x≤10 \leq x \leq 1 부분에서 곡선의 길이이므로 최소인 경우는 원점 O\mathrm{O}와 점(1,3)\displaystyle ( 1 , \sqrt{3} )을 직선으로 연결할 때이다. ∴12+32=2\displaystyle \therefore \sqrt{1 ^{2} + {\sqrt{3}} ^{2}} ^{=} 2

태그

#곡선의 길이

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