곡선 밖 점 접선

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 곡선 $y = f \left( x \right)$위의 점 $( t , t ^{3} - at )$에서 접선의 기울기는 $f' \left( t \right) = 3 t ^{2} - a$이므로 접선의 방정식은 $y - ( t ^{3} - at ) = ( 3 t ^{2} - a ) ( x - t )$이고 점 $( 0 , 16 )$을 지나므로 $2 t ^{3} = - 16$ $t ^{3} = - 8$ $t = - 2$ ($\because$ $t$는 실수) 접선의 기울기는 $8$이므로 $f' \left( - 2 \right) = 3 \times \left( - 2 \right) ^{2} - a = 12 - a = 8$ $a = 4$ 그러므로 $f \left( x \right) = x ^{3} - 4 x$ $\therefore$ $f \left( a \right) = f \left( 4 \right) = 4 ^{3} - 4 \times 4 = 48$