고정점 하나인 함수

조건 (가)에 의하여 $f \left( 1 \right) \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right)$ 조건 (나)에 의하여 $f \left( a \right) = a$인 $X$의 원소 $a$의 값에 따라 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다. (ⅰ) $f \left( 1 \right) = 1$인 경우 $f \left( 2 \right) = 1$일 때, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} - \left( \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} + _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}} - 1 \right) = 9$ $f \left( 2 \right) = 3$일 때, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} - \left( \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} + _{2} \mathrm{C} \mathit{_{1}} - 1 \right) = 2$ $f \left( 2 \right) = 4$일 때, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} - 1 = 2$ $f \left( 2 \right) = 5$일 때, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathrm{1}$ 이 경우 함수 $f$의 개수는 $9 + 2 + 2 + 1 = 14$ (ⅱ) $f \left( 2 \right) = 2$인 경우 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} - \left( \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} + \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} - 1 \right) = 5$ 각 경우에 $f \left( 1 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathrm{2}$ 따라서 이 경우 함수 $f$의 개수는 $5 \times 2 = 10$ $f \left( 3 \right) = 3$인 경우 (ⅱ)와 같고, $f \left( 4 \right) = 4$인 경우 (ⅰ)과 같다. 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $2 \times \left( 14 + 10 \right) = 48$