기울기와 절편에 같은 문자가 있는 세 직선

세 직선 중 어느 두 직선이 평행하거나 일치하는 경우와 세 직선이 한 점에서 만나는 경우를 모두 찾는다. (ⅰ) 두 직선 $y = ax + 1$, $y = x + a$의 기울기가 같을 때 $a = 1$이고, 이때 두 직선은 모두 $y = x + 1$로 일치한다. 서로 다른 직선이 $2$개뿐이므로 삼각형을 이루지 않는다. (ⅱ) 두 직선 $y = ax + 1$, $y = 3 x - 5$가 평행할 때 $a = 3$이고, 이때 $y = 3 x + 1$은 $y = 3 x - 5$와 일치하지 않는다. (ⅲ) 두 직선 $y = x + a$, $y = 3 x - 5$는 기울기가 $1$, $3$이므로 평행할 수 없다. (ⅳ) 세 직선이 한 점에서 만날 때 $x + a = 3 x - 5$에서 $\displaystyle x = \frac{a + 5}{2}$, $\displaystyle y = \frac{3 a + 5}{2}$ 직선 $y = ax + 1$이 이 점을 지나므로 $\displaystyle \frac{3 a + 5}{2} = a \times \frac{a + 5}{2} + 1$ $3 a + 5 = a ^{2} + 5 a + 2$, $a ^{2} + 2 a - 3 = 0$ $\left( a + 3 \right) \left( a - 1 \right) = 0$이므로 $a = - 3$ 또는 $a = 1$ $a = - 3$일 때 세 직선은 점 $\left( 1 , - 2 \right)$에서 만나고, $a = 1$은 (ⅰ)과 같은 값이다. 따라서 구하는 값은 $a = 1$, $a = 3$, $a = - 3$이고, 그 합은 $1 + 3 + \left( - 3 \right) = 1$