공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

기울기가 주어진 접선의 접점

문제

그림과 같이 원 (x−1)2+(y−2)2=5( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 5 에 접하고 기울기가 22 인 두 직선 중 yy 절편이 음수인 직선을 ll 이라 하고, 직선 ll 과 원의 접점을 P(a,b)\mathrm{P} ( a , b ) 라 하자. a+ba + b 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

접선의 방정식을 y=2x+ky = 2 x + k, 즉 2x−y+k=02 x - y + k = 0 이라 하면 원의 중심 (1,2)( 1 , 2 ) 와 이 직선 사이의 거리가 반지름의 길이 5\displaystyle \sqrt{5} 와 같으므로 ∣2−2+k∣5=5\displaystyle \frac{\left| 2 - 2 + k \right|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} 에서 k=±5k = \pm 5 yy 절편이 음수이므로 직선 ll 의 방정식은 y=2x−5y = 2 x - 5 접점 P\mathrm{P} 는 중심 (1,2)( 1 , 2 ) 를 지나고 직선 ll 에 수직인 직선 y=−12x+52\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} 와 직선 ll 의 교점이므로 2x−5=−12x+52\displaystyle 2 x - 5 = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} 에서 x=3x = 3, y=1y = 1 P(3,1)\mathrm{P} ( 3 , 1 ) 이므로 a=3a = 3, b=1b = 1 따라서 a+b=4a + b = 4

태그

#기울기가 주어진 접선#접점#수직인 직선

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