미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기울기 증가 점열의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 점An{\mathrm{A}} \mathit{_{n}}은 직선 y=ny = n위에 있다. 선분A0A1\mathrm{A} _{0} A _{1}의 기울기가 34\displaystyle \frac{3}{4}이고, 선분AnAn+1{\mathrm{A}} \mathit{_{n}} {\mathrm{A}} \mathit{_{n + 1}}의 기울기는 선분An−1An{\mathrm{A}} \mathit{_{n - 1}} {\mathrm{A}} \mathit{_{n}}의 기울기의 43\displaystyle \frac{4}{3}배이다. 점 An{\mathrm{A}} \mathit{_{n}}의 xx좌표를 xnx _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x _{n}}의 값은? (단, 원점 O=A0\mathrm{O} = A _{0}) [3점]

①163\displaystyle \frac{16}{3}②55③143\displaystyle \frac{14}{3}④133\displaystyle \frac{13}{3}⑤44

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①

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해설

점A1,A2,⋯\mathrm{A} _{1} , A _{2} , \cdots에서 xx축에 내린 수선의 발을 C1,C2,⋯\mathrm{C} _{1} , C _{2} , \cdots라 하면 nn이 한없이 커질 때, An{\mathrm{A}} _{n}의 xx좌표는 OC‾1+C1C2‾+⋯\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} _{1} + \overline{\mathrm{C} _{1} C _{2}} + \cdots x=43+1+34+(34)2+⋯=431−34=163\displaystyle x = \frac{4}{3} + 1 + \frac{3}{4} + \left( \frac{3}{4} \right) ^{2} + \cdots = \frac{\frac{4}{3}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{16}{3}

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#무한등비급수#좌표

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