기지국 위치

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 실생활 문제 해결하기 점 $\mathrm{A}$가 원점 $\mathrm{O}$에, 점 $\mathrm{B}$는 $x$축 위에, 점 $\mathrm{C}$는 $y$축 위에 오도록 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$를 좌표평면 위에 두면 $\mathrm{B} ( 6 , 0 ) , \mathrm{C} ( 0 , 8 )$이다.

두 지점 $\mathrm{B} , C$에 설치된 기지국에서 보내는 전파를 동시에 받는 지점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{BC}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{18}{5} , \frac{16}{5} \right)$이다. 이 도시에서 전파가 수신되지 않는 지역이 없도록 하기 위해서는 두 지점 $\mathrm{E} ( 0 , 2 ) , \mathrm{F} ( 2 , 0 )$에 대하여 도형 $\mathrm{AFDE}$를 포함하는 원의 중심에 새로운 기지국을 설치하면 된다. 한편, 사각형 $\mathrm{AFDE}$에 대하여 각 $\mathrm{AFD}$와 각 $\mathrm{DEA}$가 둔각이므로 새로운 기지국의 전파의 수신 반경을 최소로 하기 위해서는 선분 $\mathrm{AD}$를 지름으로 하는 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{5} , \frac{8}{5} \right)$에 새로운 기지국을 설치하면 된다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{5} , \frac{8}{5} \right) , \mathrm{B} ( 6 , 0 )$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt{505}}{5}$ ∴ $k = 505$