미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기함수의 극한값에서 미분계수 활용

문제

모든 실수 xx에 대하여 f(x)=f(x)f ( - x ) = - f ( x )인 다항함수 f(x)f ( x )f(1)=2,f ( - 1 ) = 2 , limx1f(1)f(x)x21=3\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1} \frac{f ( 1 ) - f ( - x )}{x ^{2} - 1} = 3을 만족시킬 때, limx1{f(x)}24x+1\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - 4}{x + 1}의 값은? [4점] 24- 2412- 120012122424

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해설

f(x)f ( x )가 기함수이므로 f(1)=2,f(1)=2f ( - 1 ) = 2 , f ( 1 ) = - 2이고 limx1f(1)f(x)x21=limx1f(x)f(1)(x1)(x(1))=f(1)2=3\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{f ( 1 ) - f ( - x )}{x ^{2} - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f ( x ) - f ( - 1 )}{( x - 1 ) ( x - ( - 1 ) )} = \frac{f' ( - 1 )}{- 2} =} 3 f(1)=6f' ( - 1 ) = - 6이다. limx1{f(x)}24x+1=limx1{f(x)+2}{f(x)2}x(1)=4f(1)=24\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - 4}{x + 1} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{\left\{ f ( x ) + 2 \right\} \left\{ f ( x ) - 2 \right\}}{x - ( - 1 )}} = 4 \cdot f' ( - 1 ) = - 24

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