미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기함수의 도함수 성질

문제

이계도함수를 갖는 함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 f(−x)=−f(x)f ( - x ) = - f ( x )를 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

[ 보 기 ]
ㄱ.f′(−x)=f′(x)f' ( - x ) = f' ( x ) ㄴ. lim⁡x→0f′(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f' ( x ) = 0 ㄷ. f(x)f ( x )의 도함수 f′(x)f' ( x )가 x=a(a≠0)x = a ( a \ne 0 )에서 극대값을 가지면 f′(x)f' ( x )는 x=−ax = - a에서 극소값을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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①

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해설

ㄱ.f(−x)=−f(x)f ( - x ) = - f ( x )의 양변을 미분하면 f′(−x)⋅(−1)=−f′(x)f' ( - x ) \cdot ( - 1 ) = - f' ( x ) ∴ f′(−x)=f′(x)f' ( - x ) = f' ( x ) (참) ㄴ. 반례 : f(x)=x3−xf ( x ) = x ^{3} - x이면 f(−x)=−f(x)f ( - x ) = - f ( x )이지만 lim⁡x→0f′(x)=−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f' ( x ) = - 1 (거짓) ㄷ. f′(−x)=f′(x)f' ( - x ) = f' ( x )이므로 y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프는 yy축에 대하여 대칭이다. 따라서, 도함수 f′(x)f' ( x )가 x=a(a≠0)x = a ( a \ne 0 )에서 극대값을 가지면 f′(x)f' ( x )는 x=−ax = - a에서 극대값을 갖는다.

태그

#합성함수 미분#우함수

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