미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 다항함수 f(x),g(x)f ( x ) , g ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 f(−x)=−f(x)f ( - x ) = - f ( x ), g(−x)=g(x)g ( - x ) = g ( x )를 만족하고 h(x)=f(x)+xg(x)h ( x ) = f ( x ) + xg ( x )로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. h(0)=0h ( 0 ) = 0 ㄴ. h′(−x)=h′(x)h {'} ( - x ) = h {'} ( x ) ㄷ. h(x)h ( x )의 이계도함수 h′′(x)h {''} ( x )가 x=1x = 1에서 극댓값 11을 가질 때, 방정식 h′′(x)−x=0h {''} ( x ) - x = 0의 실근은 적어도 3개이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

h(x)=f(x)+xg(x)h ( x ) = f ( x ) + xg ( x ) 에서 h(−x)=f(−x)−xg(−x)=−f(x)−xg(x)=−(f(x)+xg(x))=−h(x)\begin{aligned} h ( - x ) = f ( - x ) - xg ( - x ) \\ = - f ( x ) - xg ( x ) \\ = - ( f ( x ) + xg ( x ) ) \\ = - h ( x ) \end{aligned} ㄱ. h(x)h ( x )는 원점 대칭이므로 h(0)=0h ( 0 ) = 0 (참) ㄴ. h(−x)=−h(x)h ( - x ) = - h ( x )을 미분하면 −h′(−x)=−h′(x)- h {'} ( - x ) = - h {'} ( x ) h′(−x)=h′(x)h {'} ( - x ) = h {'} ( x ) (참) ㄷ. h′′(−x)=−h′′(x)h {''} ( - x ) = - h {''} ( x ) 이므로 h′′(x)h {''} ( x )는 원점대칭, h′′(x)h {''} ( x )가 x=1x = 1에서 극댓값 11을 가지면 x=−1x = - 1에서 극솟값 −1- 1을 가진다. 따라서 h′′(x)−x=0h {''} ( x ) - x = 0는 적어도 33개의 실근을 가진다. (참)

태그

#기함수#이계도함수

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