대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기체확산 로그 활용

문제

두 원소 A,BA , B가 들어있는 기체 KK가 기체확산장치를 통과하면 A,BA , B의 농도가 변한다. 기체확산장치를 통과하기 전 기체 KK에 들어있는 A,BA , B의 농도를 각각 a0,b0a _{0} , b _{0}이라 하고, 기체확산장치를 nn번 통과한 기체에 들어있는 A,BA , B의 농도를 각각 an,bna _{n} , b _{n}이라 하자. c0=a0b0\displaystyle c _{0} = \frac{a _{0}}{b _{0}}, cn=anbn\displaystyle c _{n} = \frac{a _{n}}{b _{n}}이라 하면 다음 관계식이 성립한다고 한다. cn=1.004×cn−1c _{n} = 1.004 \times c _{n-1} c0=199\displaystyle c _{0} = \frac{1}{99}일 때, 기체 KK가 기체확산장치를 nn번 통과하면 cn≥19\displaystyle c _{n} \geq \frac{1}{9}이 된다. 자연수 nn의 최솟값은? (단, log⁡1.1=0.0414\log 1.1 = 0.0414, log⁡1.004=0.0017\log 1.004 = 0.0017로 계산한다.) [3점] ①593593②613613③633633④653653⑤673673

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②

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해설

cn=1.004×cn−1c _{n} = 1.004 \times c _{n - 1}이고, c0=199\displaystyle c _{0} = \frac{1}{99} 따라서, cn=c1×(1.004)n−1=199(1.004)n\displaystyle c _{n} = c _{1} \times ( 1.004 ) ^{n - 1} = {\frac{1}{99} {( 1.004 ) ^{n}}} 이 된다. cn=199(1.004)n≥19\displaystyle c _{n} = {\frac{1}{99} {( 1.004 ) ^{n} \geq {\frac{1}{9}}}}에서, (1.004)n≥11{( 1.004 ) ^{n} \geq 11} 양변에 10을 밑으로 로그를 취하면, nlog⁡1.004≥log⁡11=1+log⁡1.1n \log {1.004} \geq \log 11 = 1 + \log 1.1 nlog⁡1.004≥1+log⁡1.1=1.0414n \log {1.004} \geq 1 + \log 1.1 = 1.0414 0.0017×n≥1.04140.0017 \times n \geq 1.0414 n≥1.04140.0017≈612.588⋯\displaystyle n \geq {\frac{1.0414}{0.0017}} \approx 612.588 \cdots 따라서 구하고자 하는 자연수 nn의 최소값은 613613이다.

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