미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

그릇 수면 상승 속도

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}와 점 A(12,0)\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2} , 0 \right)에 대하여 선분 OA\mathrm{OA}와 곡선 y=1+log⁡2xy = 1 + \log _{2} x (12≤x≤4)\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leq x \leq 4 \right)를 yy축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체 모양의 그릇이 있다.

이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초 12πcm312 \pi \mathrm{cm} ^{3}의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가 6cm/초{6} \mathrm{cm} / \text{초}가 되는 순간의 수면의 높이는 aacm\mathrm{cm}이다. aa의 값은? (단, 좌표축의 눈금 단위는 cm\mathrm{cm}이다.) [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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③

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해설

[출제의도] 적분과 미분을 이용하여 수면의 높이를 구할 수 있는지 묻는 문제이다. 수면의 높이가 hh일 때 물의 부피 VV는 V=π∫0hx2dy=π∫0h(2y−1)2dy\displaystyle V = \pi \int _{0} ^{h} {x ^{2}} dy = \pi \int _{0} ^{h} {( 2 ^{y - 1} ) ^{2} dy}이므로 dVdt=dVdh⋅dhdt\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}=π(22h−2)dhdt\displaystyle = \pi ( 2 ^{2 h - 2} ) \frac{dh}{dt}, π(22a−2)⋅6\pi ( 2 ^{2 a - 2} ) \cdot 6=12π= 12 \pi ∴\therefore a=32\displaystyle a = \frac{3}{2}

태그

#회전체의 부피#변화율

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