그래프로 분산 비교

[출제의도] 그래프로 나타내어진 자료로부터 주어진 자료들의 분산의 대소 관계를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다. 세 학급의 현장 체험 일수의 평균은 $\mathrm{A}$학급의 평균 : $\displaystyle \frac{1 \times 4 + 2 \times 6 + 3 \times 10 + 4 \times 6 + 5 \times 4}{30} = 3$ $\mathrm{B}$학급의 평균 : $\displaystyle \frac{1 \times 6 + 2 \times 6 + 3 \times 6 + 4 \times 6 + 5 \times 6}{30} = 3$ $\mathrm{C}$학급의 평균 : $\displaystyle \frac{1 \times 10 + 2 \times 4 + 3 \times 2 + 4 \times 4 + 5 \times 10}{30} = 3$ 즉, 세 학급의 평균은 모두 $3$이다. 세 학급 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 현장 체험 일수의 분산 $\mathrm{V} ( A )$, $\mathrm{V} ( B )$, $\mathrm{V} ( C )$는 $\displaystyle \mathrm{V} \mathrm{(} A ) = \frac{( - 2 ) ^{2} \times 4 + ( - 1 ) ^{2} \times 6 + 0 ^{2} \times 10 + 1 ^{2} \times 6 + 2 ^{2} \times 4}{30} = \frac{22}{15}$ $\displaystyle \mathrm{V} \mathrm{(} B ) = \frac{( - 2 ) ^{2} \times 6 + ( - 1 ) ^{2} \times 6 + 0 ^{2} \times 6 + 1 ^{2} \times 6 + 2 ^{2} \times 6}{30} = 2$

$\displaystyle \mathrm{V} \mathrm{(} C ) = \frac{( - 2 ) ^{2} \times 10 + ( - 1 ) ^{2} \times 4 + 0 ^{2} \times 2 + 1 ^{2} \times 4 + 2 ^{2} \times 10}{30} = \frac{44}{15}$ ∴ $\mathrm{V} ( A ) < V ( \mathrm{B} ) < V ( \mathrm{C} )$ [별해]

그래프에서 세 자료의 평균은 모두 $3$으로 같고, 변량의 분포가 평균의 주위에 밀집되어 있을수록 분산이 작으므로 세 학급의 분산은 $\mathrm{C}$학급이 가장 크고, $\mathrm{A}$학급이 가장 작음을 알 수 있다. ∴ $\mathrm{V} ( A ) < V ( \mathrm{B} ) < V ( \mathrm{C} )$