미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 수열의 극한

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 lim⁡n→∞an=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 5}, ∑n=1∞(2an−5bn)=11\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 2 a _{n} - 5 b _{n} \right) = 11 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞bn(an+2bn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} \left( a _{n} + 2 b _{n} \right)}의 값은? [3점] ①1212②1414③1616④1818⑤2020

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④

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해설

∑n=1∞(2an−5bn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 2 a _{n} - 5 b _{n} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(2an−5bn)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 a _{n} - 5 b _{n} \right) = 0} lim⁡n→∞an=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 5}이므로 lim⁡n→∞bn=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 2} 따라서 lim⁡n→∞bn(an+2bn)=2×(5+4)=18\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} \left( a _{n} + 2 b _{n} \right)} = 2 \times \left( 5 + 4 \right) = 18

태그

#급수#극한 성질

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