미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞an5n=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{5 ^{n}} = 1일 때, lim⁡n→∞5n+1−2n−1+an5n−1+2n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 ^{n + 1} - 2 ^{n - 1} + a _{n}}{5 ^{n - 1} + 2 ^{n + 1}}}의 값을 구하시오. [3점]

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25

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해설

[출제의도] 무한급수의 성질 이해하기 ∑n=1∞an5n=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{5 ^{n}} = 1이므로 lim⁡n→∞an5n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{5 ^{n}}} = 0이다. ∴\therefore lim⁡n→∞5−12(25)n+an5n15+2(25)n=25\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 - \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} \right) ^{n} + \frac{a _{n}}{5 ^{n}}}{\frac{1}{5} + 2 \left( \frac{2}{5} \right) ^{n}} = 25}

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