미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑n=1∞(ann−2nn+3)=5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - \frac{2 n}{n + 3} \right) = 5를 만족시킬 때, lim⁡n→∞5an−2nan+2n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 a _{n} - 2 n}{a _{n} + 2 n + 1}}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴과 수열의 극한값 사이의 관계를 이해하여 극한값을 구한다. ∑n=1∞(ann−2nn+3)=5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - \frac{2 n}{n + 3} \right) = 5이므로 lim⁡n→∞(ann−2nn+3)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{a _{n}}{n} - \frac{2 n}{n + 3} \right) = 0 lim⁡n→∞ann\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n}=lim⁡n→∞2nn+3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 n}{n + 3}=2= 2 따라서 lim⁡n→∞5an−2nan+2n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 a _{n} - 2 n}{a _{n} + 2 n + 1}}=lim⁡n→∞5ann−2ann+2+1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{5 a _{n}}{n} - 2}{\frac{a _{n}}{n} + 2 + \frac{1}{n}}}=2= 2

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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