미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑n=1∞(2an−3)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( 2 a _{n} - 3 ) = 2를 만족시킨다. lim⁡n→∞an=r\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = r일 때, lim⁡n→∞rn+2−1rn+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{r ^{n + 2} - 1}{r ^{n} + 1}의 값은? [3점] ①74\displaystyle \frac{7}{4}②22③94\displaystyle \frac{9}{4}④52\displaystyle \frac{5}{2}⑤114\displaystyle \frac{11}{4}

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③

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해설

[출제의도] 급수와 수열의 극한 사이의 관계를 이용하여 등비수열의 극한값을 구할 수 있는가? 급수 ∑n=1∞(2an−3)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( 2 a _{n} - 3 \right)가 수렴하므로 lim⁡n→∞(2an−3)=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( 2 a _{n} - 3 \right) = 0이다. 2an−3=bn2 a _{n} - 3 = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = 0이고, an=12(bn+3)\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \left( b _{n} + 3 \right)이므로 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞12(bn+3)=12×(0+3)=32\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left( b _{n} + 3 \right) = \frac{1}{2} \times \left( 0 + 3 \right) = \frac{3}{2} 즉, r=32\displaystyle r = \frac{3}{2}이므로 lim⁡n→∞rn+2−1rn+1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{r ^{n+2} - 1}{r ^{n} + 1}=lim⁡n→∞(32)n+2−1(32)n+1\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\left( \frac{3}{2} \right) ^{n+2} - 1}{\left( \frac{3}{2} \right) ^{n} + 1}=lim⁡n→∞94−(23)n1+(23)n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{9}{4} - \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}=94−01+0=94\displaystyle = \frac{\frac{9}{4} - 0}{1 + 0} = \frac{9}{4}

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#급수#수열의 극한

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