미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑n=1∞(an−3n2−n2n2+1)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2} + 1} \right) = 2 를 만족시킬 때, lim⁡n→∞(an2+2an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( a _{n} \mathit{^{2}} + 2 a _{n} \right)의 값은? [3점] ①174\displaystyle \frac{17}{4}②194\displaystyle \frac{19}{4}③214\displaystyle \frac{21}{4}④234\displaystyle \frac{23}{4}⑤254\displaystyle \frac{25}{4}

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③

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해설

∑n=1∞(an−3n2−n2n2+1)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2} + 1} \right) = 2 이므로 lim⁡n→∞an=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \frac{3}{2} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ ∴\thereforelim⁡n→∞(an2+2an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} ^{2} + 2 a _{n} \right)}=(32)2+2×32\displaystyle = \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + 2 \times \frac{3}{2} (∵\because ㉠) =94+3\displaystyle = \frac{9}{4} + 3 =214\displaystyle = \frac{21}{4}

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#급수의 수렴#수열의 극한

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