미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 수열 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 급수 ∑n=1∞(ann+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} + 1 \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞nan+3n2n2+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{na _{n} + 3 n ^{2}}{n ^{2} + 1}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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④

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해설

급수 ∑n=1∞(ann+1)\displaystyle \sum\limits _{\mathit{n} = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{\mathit{n}}}{n} + 1 \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞ann=−1\displaystyle \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {\frac{a _{\mathit{n}}}{n}} = - 1 따라서 lim⁡n→∞nan+3n2n2+1=lim⁡n→∞ann+31+1n2=2\displaystyle \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {\frac{na _{\mathit{n}} + 3 n ^{2}}{n ^{2} + 1}} = \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a _{\mathit{n}}}{n} + 3}{1 + \frac{1}{n ^{2}}} = 2}

태그

#급수

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