급수와 수열 극한

[출제의도] 무한급수의 수렴과 일반항의 극한값 이해하기 ⅰ) $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( na _{n} - \frac{2 n ^{2}}{n + 1} \right) = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( na _{n} - \frac{2 n ^{2}}{n + 1} \right) = 0}$ $\displaystyle na _{n} - \frac{2 n ^{2}}{n + 1} = c _{n}$이라 하면, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} c _{n} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \frac{c _{n}}{n} + \frac{2 n ^{2}}{n ( n + 1 )} \right\} = 2$ ⅱ) $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 a _{n} - 5 b _{n} \right) = 3}$에서 $3 a _{n} - 5 b _{n} = d _{n}$이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} d _{n} = 3$이고, ⅰ)에서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{3}{5} a _{n} - \frac{1}{5} d _{n} \right)$$\displaystyle = \frac{3}{5}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 a _{n} + 5 b _{n}}{a _{n} + 10 b _{n}}} = \frac{2 \times 2 + 5 \times \frac{3}{5}}{2 + 10 \times \frac{3}{5}} = \frac{7}{8}$