미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 수열 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(an2−an+12)=36\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} ^{2} - a _{n + 1} ^{2} \right) = 36, lim⁡n→∞(an−8nn+1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( a _{n} - \frac{8 n}{n + 1} \right) = 0 이 성립할 때, a12a _{1} ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
100

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 이해능력-수열의 극한 lim⁡n→∞(an−8nn+1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( a _{n} - \frac{8 n}{n + 1} \right) = 0에서 lim⁡n→∞8nn+1=8\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{8 n}{n + 1} = 8이므로 lim⁡n→∞an=8\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 8이다 ∑n=1∞(an2−an+12)=lim⁡n→∞∑k=1n(ak2−ak+12)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} ^{2} - a _{n + 1} ^{2} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( a _{k} ^{2} - a _{k + 1} ^{2} ) =lim⁡n→∞{(a12−a22)+(a22−a32)+⋯+(an2−an+12)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ ( a _{1} ^{2} - a _{2} ^{2} ) + ( a _{2} ^{2} - a _{3} ^{2} ) + \cdots + ( a _{n} ^{2} - a _{n + 1} ^{2} ) \right\} =lim⁡n→∞(a12−an+12)=36\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{1} ^{2} - a _{n + 1} ^{2} ) = 36 따라서 lim⁡n→∞an+12=a12−36\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} ^{2} = a _{1} ^{2} - 36 이때 lim⁡n→∞an2=lim⁡n→∞an+12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} ^{2} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} ^{2} 이므로 lim⁡n→∞an2=a12−36\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} ^{2} = a _{1} ^{2} - 36이고 lim⁡n→∞an=8\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 8이므로 64=a12−3664 = a _{1} ^{2} - 36 따라서 a12=100a _{1} ^{2} = 100

태그

#급수#수열의 극한

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로