급수와 정적분

[출제의도] 급수와 정적분의 관계를 이용하여 극한 값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n ^{2}} \left( \frac{k}{n} \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}}}$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {xf \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {x \left( 4 x ^{2} + 6 x + 32 \right) dx = \int _{0} ^{1} {\left( 4 x ^{3} + 6 x ^{2} + 32 x \right) dx}}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} x ^{4} + 2 x ^{3} + 16 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{1} = 1 + 2 + 16 = 19$