미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 정적분

문제

[13∼14] 함수 f(x)=1x2+x\displaystyle {f ( x ) = \frac{1}{x ^{2} + x}}의 그래프는 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

lim⁡n→∞2n∑k=1nf(1+2kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right)}의 값은? [4점] ①ln⁡98\displaystyle \ln \frac{9}{8}②ln⁡54\displaystyle \ln \frac{5}{4}③ln⁡118\displaystyle \ln \frac{11}{8}④ln⁡32\displaystyle \ln \frac{3}{2}⑤ln⁡138\displaystyle \ln \frac{13}{8}

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 계산하기 lim⁡n→∞2n∑k=1nf(1+2kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n}} f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) =∫13f(x)dx\displaystyle = \int _{1} ^{3} {f ( x ) dx}=∫131x2+xdx\displaystyle = \int _{1} ^{3} {\frac{1}{x ^{2} + x} dx}=∫13(1x−1x+1)dx\displaystyle = \int _{1} ^{3} {\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \right) dx}=[ln⁡∣xx+1∣]13\displaystyle = \left[ \ln \left| \frac{x}{x + 1} \right| \right] _{1} ^{3}=ln⁡32\displaystyle = \ln \frac{3}{2}

태그

#정적분과 급수#부분분수

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