미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 일반항의 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(ann−3)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - 3 \right) = 2일 때, lim⁡n→∞2ann+an+3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 a _{n}}{n + a _{n} + 3}}의 값은? [3점] ①11②32\displaystyle \frac{3}{2}③22④52\displaystyle \frac{5}{2}⑤33

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②

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해설

[출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기 ∑n=1∞(ann−3)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - 3 \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞ann=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n} = 3} lim⁡n→∞2ann+an+3=lim⁡n→∞2annnn+ann+3n=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 a _{n}}{n + a _{n} + 3}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{2 a _{n}}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{a _{n}}{n} + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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