미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 일반항 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞2nan−2n+12n+1=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2 ^{n} a _{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1} = 1일 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [4점]

①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기 ∑n=1∞2nan−2n+12n+1=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2 ^{n} a _{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1} = 1이므로 lim⁡n→∞2nan−2n+12n+1=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n} a _{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1}} = 0 2nan−2n+12n+1=bn\displaystyle \frac{2 ^{n} a _{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0 an=(2n+1)bn+2n+12n\displaystyle a _{n} = \frac{\left( 2 ^{n} + 1 \right) b _{n} + 2 ^{n + 1}}{2 ^{n}}이므로 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}=lim⁡n→∞(2n+1)bn+2n+12n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 2 ^{n} + 1 \right) b _{n} + 2 ^{n + 1}}{2 ^{n}}} =lim⁡n→∞{(1+12n)bn+2}=2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n}} \right) b _{n} + 2 \right\} = 2}

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#급수#수열의 극한

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