미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(ann−2)=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - 2 \right) = 3일 때, lim⁡n→∞an−3n+22an+n−4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} - 3 n + 2}{2 a _{n} + n - 4}}의 값은? [3점] ①−12\displaystyle - \frac{1}{2}②−15\displaystyle - \frac{1}{5}③15\displaystyle \frac{1}{5}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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②

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해설

[출제의도] 수렴하는 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기 ∑n=1∞(ann−2)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - 2 \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(ann−2)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a _{n}}{n} - 2 \right) = 0이다. lim⁡n→∞ann=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n} = 2이므로 lim⁡n→∞an−3n+22an+n−4=lim⁡n→∞ann−3+2n2⋅ann+1−4n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} - 3 n + 2}{2 a _{n} + n - 4}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{a _{n}}{n} - 3 + \frac{2}{n}}{2 \cdot \frac{a _{n}}{n} + 1 - \frac{4}{n}}=2−32⋅2+1=−15\displaystyle = \frac{2 - 3}{2 \cdot 2 + 1} = - \frac{1}{5}

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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