미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(ann+1−12)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n + 1} - \frac{1}{2} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞an4n+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{4 n + 1}}의 값은? [3점] ①58\displaystyle \frac{5}{8}②12\displaystyle \frac{1}{2}③38\displaystyle \frac{3}{8}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤18\displaystyle \frac{1}{8}

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⑤

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해설

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기 ∑n=1∞(ann+1−12)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n + 1} - \frac{1}{2} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(ann+1−12)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n}}{n + 1} - \frac{1}{2} \right) = 0} ann+1−12=bn\displaystyle \frac{a _{n}}{n + 1} - \frac{1}{2} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 0}이고 an=(n+1)(bn+12)\displaystyle a _{n} = \left( n + 1 \right) \left( b _{n} + \frac{1}{2} \right) lim⁡n→∞an4n+1=lim⁡n→∞(1+1n)(bn+12)4+1n=18\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{4 n + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( b _{n} + \frac{1}{2} \right)}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{8}

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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