미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 무한급수 ∑n=1∞(an−3n+1n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{3 n + 1}{n} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{a _{n}}}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기 ∑n=1∞(an−3n+1n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{3 n + 1}{n} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−3n+1n)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} - \frac{3 n + 1}{n} \right) = 0} an−3n+1n=bn\displaystyle a _{n} - \frac{3 n + 1}{n} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{b _{n}} = 0}이고 an=bn+3n+1n\displaystyle a _{n} = b _{n} + \frac{3 n + 1}{n} ∴\therefore lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{a _{n}}}=lim⁡n→∞(bn+3n+1n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( {b _{n}} + \frac{3 n + 1}{n} \right)} =lim⁡n→∞bn+lim⁡n→∞3n+1n=3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {{b _{n}} + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n + 1}{n} = 3}}

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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