급수의 수렴과 극한

[출제의도] 급수의 성질 이해하기 $\displaystyle b _{n} = a _{n} - \frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1}$이라 하면 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( b _{n} + \frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 1}}$ $\displaystyle = 0 + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{1 + \frac{1}{2 ^{n}}}}$ $\displaystyle = 0 + \frac{2}{1 + 0} = 2$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n} \times a _{n} + 5 \times 2 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} + 5 \times 2}{1 + \frac{3}{2 ^{n}}}}$ $\displaystyle = \frac{2 + 10}{1 + 0} = 12$