미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수의 정적분 변환

문제

lim⁡n→∞∑k=1n1n+3k\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{n + 3 k}의 값은? [3점] ①13ln⁡2\displaystyle \frac{1}{3} \ln 2②23ln⁡2\displaystyle \frac{2}{3} \ln 2③ln⁡2\ln 2④43ln⁡2\displaystyle \frac{4}{3} \ln 2⑤53ln⁡2\displaystyle \frac{5}{3} \ln 2

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②

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해설

lim⁡n→∞∑k=1n1n+3k\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{n + 3 k}}=lim⁡n→∞∑k=1n1nnn+3kn\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{3 k}{n}}}=13lim⁡n→∞∑k=1n3n1+3kn\displaystyle = \frac{1}{3} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\frac{3}{n}}{1 + \frac{3 k}{n}}} =13∫141xdx\displaystyle = \frac{1}{3} \int _{1} ^{4} {\frac{1}{x}} dx=13[ln⁡x]14\displaystyle = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} {} \\ {} \end{matrix} {\mathrm{\ln}} x \end{array} \right] _{1} ^{4}=23ln⁡2\displaystyle = \frac{2}{3} {\mathrm{\ln}} 2

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