미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수의 합을 정적분으로

문제

함수 f(x)=1x\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x}에 대하여 limnk=1nf(1+2kn)2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) \frac{2}{n}의 값은? [3점] ln2\ln 2ln3\ln 32ln22 \ln 2ln5\ln 5ln6\ln 6

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해설

limnk=1nf(1+2kn)2n=13f(x)dx=131xdx=[lnx]13=ln3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f ( 1 + \frac{2 k}{n} ) \frac{2}{n} = \int _{1} ^{3} {f ( x ) dx = \int _{1} ^{3} {\frac{1}{x} dx = \left[ \ln x \right] _{1} ^{3}}} = \ln 3}

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