미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

급수로 정의된 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제mm항까지의 합을 SmS _{m}이라 하자. 모든 자연수 mm에 대하여 Sm=∑n=1∞m+1n(n+m+1)\displaystyle S _{m} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{m + 1}{n ( n + m + 1 )} 일 때, a1+a10=qp\displaystyle a _{1} + a _{10} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

SmS _{m}=∑n=1∞m+1n(n+m+1)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{m + 1}{n \left( n + m + 1 \right)} =∑n=1∞(1n−1n+m+1)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + m + 1} \right) =lim⁡n→∞∑k=1n(1k−1k+m+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + m + 1} \right)} =lim⁡n→∞(∑k=1n1k−∑k=1n1k+m+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k + m + 1} \right)} =lim⁡n→∞(∑k=1n1k−∑k=m+2n+m+11k)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k} - \sum\limits _{k = m + 2} ^{n + m + 1} \frac{1}{k} \right)} =lim⁡n→∞(∑k=1m+11k−∑k=n+1n+m+11k)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{1}{k} - \sum\limits _{k = n + 1} ^{n + m + 1} \frac{1}{k} \right)} =∑k=1m+11k\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{1}{k} m=1m = 1일 때 a1=S1=∑k=121k=32\displaystyle a _{1} = S _{1} = \sum\limits _{k = 1} ^{2} \frac{1}{k} = \frac{3}{2} a10=S10−S9=∑k=1111k−∑k=1101k=111\displaystyle a _{10} = S _{10} - S _{9} = \sum\limits _{k = 1} ^{11} \frac{1}{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{10} \frac{1}{k} = \frac{1}{11} a1+a10=3522\displaystyle a _{1} + a _{10} = \frac{35}{22}이므로 p=22p = 22, q=35q = 35 ∴p+q=57\therefore p + q = 57

태그

#부분분수#급수

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