미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수를 정적분으로

문제

이차함수 f(x)=x2+1f ( x ) = x ^{2} + 1에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1nf(1+kn)k2+2nkn3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \frac{k ^{2} + 2 nk}{n ^{3}}} 의 값은? [4점] ①265\displaystyle \frac{26}{5}②315\displaystyle \frac{31}{5}③365\displaystyle \frac{36}{5}④415\displaystyle \frac{41}{5}⑤465\displaystyle \frac{46}{5}

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①

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해설

[출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기 lim⁡n→∞∑k=1nf(1+kn)k2+2nkn3\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \frac{k ^{2} + 2 nk}{n ^{3}}} & \end{aligned} =lim⁡n→∞∑k=1nf(1+kn){(kn)2+2(kn)+1−1}1n\displaystyle \begin{aligned} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \left\{ \left( \frac{k}{n} \right) ^{2} + 2 \left( \frac{k}{n} \right) + 1 - 1 \right\} \frac{1}{n}} & \end{aligned}=lim⁡n→∞∑k=1nf(1+kn){(1+kn)2−1}1n\displaystyle \begin{aligned} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \left\{ \left( 1 + \frac{k}{n} \right) ^{2} - 1 \right\} \frac{1}{n}} & \end{aligned}=lim⁡n→∞∑k=1n{(1+kn)2+1}{(1+kn)2−1}1n\displaystyle \begin{aligned} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \left( 1 + \frac{k}{n} \right) ^{2} + 1 \right\} \left\{ \left( 1 + \frac{k}{n} \right) ^{2} - 1 \right\} \frac{1}{n}} & \end{aligned} =∫12(x2+1)(x2−1)dx=265\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\left( x ^{2} + 1 \right) \left( x ^{2} - 1 \right)} dx = \frac{26}{5}

태그

#정적분과 급수#구분구적법

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