미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 수열 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 무한급수 ∑n=1∞(ann2+n−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n ^{2} + n} - 1 \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞an+2n22an−n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} + 2 n ^{2}}{2 a _{n} - n ^{2}}}의 값은? [3점] ①−2- 2②−1- 1③11④22⑤33

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한급수의 수렴 이해하기 ∑n=1∞(ann2+n−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n}}{n ^{2} + n} - 1 \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(ann2+n−1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n}}{n ^{2} + n} - 1 \right) = 0}, lim⁡n→∞ann2+n=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n ^{2} + n} = 1} ann2+n=bn\displaystyle \frac{a _{n}}{n ^{2} + n} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞an+2n22an−n2=lim⁡n→∞(n2+n)bn+2n22(n2+n)bn−n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} + 2 n ^{2}}{2 a _{n} - n ^{2}} } = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( n ^{2} + n ) b _{n} + 2 n ^{2}}{2 ( n ^{2} + n ) b _{n} - n ^{2}}} =lim⁡n→∞(1+1n)bn+22(1+1n)bn−1=3\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 1 + \frac{1}{n} \right) b _{n} + 2}{2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right) b _{n} - 1}} = 3

태그

#급수와 수열의 극한

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로