미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 수렴과 일반항 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(nan−6n2+1n+2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( na _{n} - \frac{6 n ^{2} + 1}{n + 2} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞(2an)2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \left( 2 a _{n} \right. \right) ^{2}}의 값을 구하시오. [4점]

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144

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해설

[출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기 ∑n=1∞(nan−6n2+1n+2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( na _{n} - \frac{6 n ^{2} + 1}{n + 2} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(nan−6n2+1n+2)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( na _{n} - \frac{6 n ^{2} + 1}{n + 2} \right) = 0} nan−6n2+1n+2=bn\displaystyle na _{n} - \frac{6 n ^{2} + 1}{n + 2} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 0 an=bnn+6n2+1n(n+2)\displaystyle a _{n} = \frac{b _{n}}{n} + \frac{6 n ^{2} + 1}{n \left( n + 2 \right)}이므로 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞{bnn+6n2+1n(n+2)}=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{b _{n}}{n} + \frac{6 n ^{2} + 1}{n \left( n + 2 \right)} \right\}} = 6 따라서 lim⁡n→∞(2an)2=144\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 a _{n} \right)} ^{2} = 144

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#급수의 수렴#수열의 극한

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