미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 수렴과 일반항 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 급수 ∑n=1∞(an−2×3n+1+2n3n+2n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [3점] ①22②33③44④55⑤66

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 급수의 수렴조건 이해하기 급수 ∑n=1∞(an−2×3n+1+2n3n+2n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−2×3n+1+2n3n+2n)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} - \frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}} \right)} = 0이다. bn=an−2×3n+1+2n3n+2n\displaystyle b _{n} = a _{n} - \frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}}이라 하자. 따라서 an=bn+2×3n+1+2n3n+2n\displaystyle a _{n} = b _{n} + \frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}}, lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 0} 이고 lim⁡n→∞2×3n+1+2n3n+2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}}}=lim⁡n→∞2×3n+13n+2n3n1+2n3n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \times \frac{3 ^{n + 1}}{3 ^{n}} + \frac{2 ^{n}}{3 ^{n}}}{1 + \frac{2 ^{n}}{3 ^{n}}}}=lim⁡n→∞6+(23)n1+(23)n=6\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}} = 6} 이다. 따라서 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(bn+2×3n+1+2n3n+2n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} =} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( b _{n} + \frac{2 \times 3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}} \right)}=0+6=6= 0 + 6 = 6이다.

태그

#급수의 수렴#등비수열의 극한

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로