미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 일반항 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(an−5n2n−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{5 n}{2 n - 1} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞(4n−1)ann+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 4 n - 1 \right) a _{n}}{n + 1}}의 값은? [3점] ①66②88③1010④1212⑤1414

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③

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해설

[출제의도] 수렴하는 급수의 성질 이해하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(an−5n2n−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{5 n}{2 n - 1} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−5n2n−1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( a _{n} - \frac{5 n}{2 n - 1} \right) = 0이다. lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞{(an−5n2n−1)+(5n2n−1)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \left\{ \left( a _{n} - \frac{5 n}{2 n - 1} \right) + \left( \frac{5 n}{2 n - 1} \right) \right. \right\}}}=0+52=52\displaystyle = 0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} ∴\thereforelim⁡n→∞(4n−1)ann+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 4 n - 1 \right) a _{n}}{n + 1}}=lim⁡n→∞(4n−1n+1)×lim⁡n→∞an\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{4 n - 1}{n + 1} \right) \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}=4×52=10\displaystyle = 4 \times \frac{5}{2} = 10

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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