미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 일반항 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(2−an9n)=1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 2 - \frac{a _{n}}{9 ^{n}} \right) = 1 일 때, lim⁡n→∞9n2an+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{9 ^{n}}{2 a _{n} + 1}}의 값은? [3점] ①15\displaystyle \frac{1}{5}②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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②

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해설

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기 ∑n=1∞(2−an9n)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 2 - \frac{a _{n}}{9 ^{n}} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(2−an9n)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 - \frac{a _{n}}{9 ^{n}} \right)} = 0 ∴\therefore lim⁡n→∞an9n=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{9 ^{n}}} = 2 따라서 lim⁡n→∞9n2an+1=lim⁡n→∞12×an9n+19n=14\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{9 ^{n}}{2 a _{n} + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{2 \times \frac{a _{n}}{9 ^{n}} + \frac{1}{9 ^{n}}}} = \frac{1}{4}

태그

#급수와 일반항#수열의 극한

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