미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 일반항 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(an−13+23+33+⋯+n3n4)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}}{n ^{4}} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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①

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴의 성질을 이용하여 극한값 구하기 ∑n=1∞(an−13+23+33+⋯+n3n4)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}}{n ^{4}} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−13+23+33+⋯+n3n4)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} - \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}}{n ^{4}} \right)} = 0이다. 따라서, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}=lim⁡n→∞13+23+33+⋯+n3n4\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}}{n ^{4}}} =lim⁡n→∞{n(n+1)2}2n4\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}}{n ^{4}}} =lim⁡n→∞n2(n+1)24n4\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}}} =14\displaystyle = \frac{1}{4}

태그

#급수의 수렴#자연수 거듭제곱의 합

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