미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 수렴과 일반항 극한

문제

수렴하는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 무한급수 (a1−212)+(a2−2+432)+⋯+{an−2+4+6+⋯+2n(2n−1)2}+⋯\displaystyle \left( a _{1} - \frac{2}{1 ^{2}} \right) + \left( a _{2} - \frac{2 + 4}{3 ^{2}} \right) + \cdots + \left\{ a _{n} - \frac{2 + 4 + 6 + \cdots + 2 n}{( 2 n - 1 ) ^{2}} \right\} + \cdots 이 수렴할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}의 값은? [4점] ①00②16\displaystyle \frac{1}{6}③14\displaystyle \frac{1}{4}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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③

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해설

무한급수 ∑n=1∞tn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} t _{n}이 수렴하면 lim⁡n→∞tn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {t _{n}} = 0이므로 lim⁡n→∞{an−2+4+6+⋯+2n(2n−1)2}=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ a _{n} - \frac{2 + 4 + 6 + \cdots + 2 n}{( 2 n - 1 ) ^{2}} \right\} = 0 lim⁡n→∞(an−n2+n4n2−4n+1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( a _{n} - \frac{n ^{2} + n}{4 n ^{2} - 4 n + 1} \right) = 0 ∴ lim⁡n→∞an=14\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \frac{1}{4}

태그

#급수#수열의 극한

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