미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 수렴과 극한값

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(3nan−2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 3 ^{n} a _{n} - 2 \right)가 수렴할 때, lim⁡n→∞6an+5⋅4−nan+3−n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 a _{n} + 5 \cdot 4 ^{- n}}{a _{n} + 3 ^{- n}}}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

급수가 수렴하므로 일반항은 00으로 수렴한다. lim⁡n→∞3nan−2=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {3 ^{n} a _{n} - 2} = 0이르로 lim⁡n→∞3nan=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} 3 ^{n} a _{n} = 2이다. lim⁡n→∞6an+5⋅4−nan+3−n=lim⁡n→∞6⋅3nan+5(34)n3nan+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{6 a _{n} + 5 \cdot 4 ^{-n}}{a _{n} + 3 ^{-n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{6 \cdot 3 ^{n} a _{n} + 5 \left( \frac{3}{4} \right) ^{n}}{3 ^{n} a _{n} + 1}이므로 주어진 식의 극한값은 123=4\displaystyle \frac{12}{3} = 4이다.

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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