미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 극한

문제

수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞an=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 3}이고 급수 ∑n=1∞(an+2bn−7)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} + 2 b _{n} - 7 )이 수렴할 때, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

an+2bn−7=cna _{n} + 2 b _{n} - 7 = c _{n}이라 하면 급수 ∑n=1∞Cn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} C _{n}이 수렴하므로 lim⁡n→∞cn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} c _{n} = 0 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}=lim⁡n→∞cn−an+72\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{c _{n} - a _{n} + 7}{2}} =12(lim⁡n→∞cn−lim⁡n→∞an+7)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {c _{n} - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} + 7}} \right)=2= 2

태그

#급수와 수열의 극한#극한의 성질

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