미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 수렴과 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 급수 ∑n=1∞(an−n2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - n ^{2} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞an−nan+n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} - n}{a _{n} + n ^{2}}}의 값은? [4점] ①−12\displaystyle - \frac{1}{2}②−14\displaystyle - \frac{1}{4}③00④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 급수와 일반항 사이의 관계 이해하기 ∑n=1∞(an−n2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - n ^{2} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−n2)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} - n ^{2} \right) = 0} lim⁡n→∞an−nan+n2=lim⁡n→∞(an−n2)+n2−n(an−n2)+2n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} - n}{a _{n} + n ^{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( a _{n} - n ^{2} \right) + n ^{2} - n}{\left( a _{n} - n ^{2} \right) + 2 n ^{2}}}=lim⁡n→∞an−n2n2+1−1nan−n2n2+2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{a _{n} - n ^{2}}{n ^{2}} + 1 - \frac{1}{n}}{\frac{a _{n} - n ^{2}}{n ^{2}} + 2}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#급수#수열의 극한

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