미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(n2an−3)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( n ^{2} a _{n} - 3 )이 수렴할 때, lim⁡n→∞20an+3n−3an+n−2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{20 a _{n} + 3 n ^{-3}}{a _{n} + n ^{-2}}}의 값을 구하시오. [3점]

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15

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴을 이해하기 ∑n=1∞(n2an−3)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( n ^{2} a _{n} - 3 )이 수렴하므로 lim⁡n→∞(n2an−3)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( n ^{2} a _{n} - 3 ) = 0}이다. 따라서 lim⁡n→∞n2an=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n ^{2} a _{n}} = 3 (준식)=lim⁡n→∞20n2an+3nn2an+1=603+1=15\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{20 n ^{2} a _{n} + \frac{3}{n}}{n ^{2} a _{n} + 1}} = \frac{60}{3 + 1} = 15

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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