미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수 수렴과 극한

문제

무한급수 (a13−5)+(a26−83)+(a39−115)+⋯+(an3n−3n+22n−1)+⋯\displaystyle \left( \frac{a _{1}}{3} - 5 \right) + \left( \frac{a _{2}}{6} - \frac{8}{3} \right) + \left( \frac{a _{3}}{9} - \frac{11}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{a _{n}}{3 n} - \frac{3 n + 2}{2 n - 1} \right) + \cdots 이 수렴할 때, lim⁡n→∞6an+21n−72an+3n+5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 a _{n} + 21 n - 7}{2 a _{n} + 3 n + 5}}의 값을 구하시오. [4점]

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4

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴조건 이해하기 무한급수가 수렴하므로 lim⁡n→∞(an3n−3n+22n−1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{a _{n}}{3 n} - \frac{3 n + 2}{2 n - 1} \right) = 0}이고 lim⁡n→∞an3n=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{3 n} = \frac{3}{2}}이다. ∴\thereforelim⁡n→∞6an+21n−72an+3n+5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 a _{n} + 21 n - 7}{2 a _{n} + 3 n + 5}}=lim⁡n→∞6an3n+21n−73n2an3n+3n+53n=4\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{6 a _{n}}{3 n} + \frac{21 n - 7}{3 n}}{\frac{2 a _{n}}{3 n} + \frac{3 n + 5}{3 n}}} = 4

태그

#급수와 수열의 극한

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