미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 극한

문제

수열 {an}\{ a _{n} \}에 대하여 무한급수 ∑n=1∞an−nn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n} - n}{n}이 수렴할 때, lim⁡n→∞5n+an5n−an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n + a _{n}}{5 n - a _{n}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②34\displaystyle \frac{3}{4}③11④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴과 일반항의 극한의 관계를 이해하고, 극한값을 구한다. 무한급수 ∑n=1∞an−nn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n} - n}{n}이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−nn)=lim⁡n→∞(ann−1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a _{n} - n}{n} \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( {\frac{a _{n}}{n} - 1 ) = 0} \right. ∴ lim⁡n→∞ann=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n} = 1} ∴ lim⁡n→∞5n+an5n−an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{5 n + a _{n}}{5 n - a _{n}} =lim⁡n→∞5+ann5−ann\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{5 + \frac{a _{n}}{n}}{5 - \frac{a _{n}}{n}} =5+15−1\displaystyle = \frac{5 + 1}{5 - 1} =32\displaystyle = \frac{3}{2} [참고] 무한급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 0}이다.

태그

#급수와 수열의 극한

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