미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 극한

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 무한급수 ∑n=1∞(an−3nn+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{3 n}{n + 1} \right)과 ∑n=1∞(an+bn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right) 이 모두 수렴할 때, lim⁡n→∞3−bnan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 - b _{n}}{a _{n}}}의 값은? (단, an≠0a _{n} \ne 0) [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

무한급수 ∑n=1∞(an−3nn+1)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} - \frac{3 n}{n + 1} ), ∑n=1∞(an+bn)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} )이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−3nn+1)=lim⁡n→∞(an−3)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} - \frac{3 n}{n + 1} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} - 3 ) = 0 ∴\therefore lim⁡n→∞an=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 3 lim⁡n→∞(an+bn)=3+lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( a _{n} + b _{n} ) = 3 + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = 0 ∴\therefore lim⁡n→∞bn=−3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b _{n} = - 3 ∴\therefore lim⁡n→∞3−bnan=3−(−3)3=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 - b _{n}}{a _{n}} = \frac{3 - ( - 3 )}{3} = 2

태그

#급수의 수렴#수열의 극한

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